Pembuktian dengan penurunan tak terhingga

Satu pembuktian nombor tak nisbah adalah pembuktian dengan penurunan tak terhingga. Ia juga pembuktian melalui percanggahan, yang membawa makna pernyataan dibuktikan dengan menganggap bahawa jika apa bertentangan dengan pernyataan itu adalah benar dan dengan menunjukkan yang anggapan ini adalah salah akan memberi makna bahawa pernyataan asal itu adalah betul.

1. Anggap yang √2 adalah nombor nisbah, bermakna wujud integer a dan integer b yang menunjukkan a / b = √2.
2. Kemudian √2 boleh ditulis sebagai pecahan tak terturunkan (pecahan yang boleh dimudahkan sebanyak mungkin) a / b iaitu a dan b adalah integer gandaan dan (a / b)2 = 2.
3. Kemudian a2 / b2 = 2 dan a2 = 2 b2.
4. Maka a2 adalah genap kerana ia bersamaan dengan 2 b2 iaitu genap juga.
5. Kemudian a mestilah genap (kerana kuasa intereger ganjil adalah ganjil).
6. Disebabkan a adalah genap, wujudnya integer k yang memenuhi: a = 2k.
7. Dengan menggantikan (6) ke dalam persamaan akhir (3): 2b2 = (2k)2 adalah sama dengan 2b2 = 4k2 yang juga sama dengan b2 = 2k2.
8. Disebabkan 2k2 genap kerana b2 juga genap yang membawa maksud b adalah genap kerana interger ganjil mempunyai kuasa yang ganjil.
9. Dengan (5) dan (8) a dan b adalah genap kedua-duanya, yang bercanggah dengan a / b yang tak terturunkan seperti dinyatakan dalam (2).

Memandangkan terdapatnya percanggahan, anggapan (1) iaitu √2 nombor nisbah adalah salah, Maka, bertentangan dengan pernyataan itu adalah dibuktikan benar: √2 tidak nisbah.

Pembuktian ini boleh digunakan untuk sebarang punca kuasa nombor asli untuk menunjukkan sama ada nombor itu nombor asli atau nombor tidak nisbah.

Pembuktian dengan pemfaktoran unik

Pembuktian lain menggunakan pendekatan yang sama dengan teorem pemfaktoran unik:

1. Anggap yang √2 adalah nombor nisbah, yang bermakna wujudnya interger a dan integer b supaya a / b = √2.
2. Kemudian √2 boleh ditulis sebagai pecahan tak terturunkan (pecahan yang boleh dimudahkan sebanyak mungkin) a / b iaitu a and b adalah integer gandaan dan (a / b)2 = 2.
3. Lalu, a2 / b2 = 2 dan a2 = 2 b2.
4. Dengan teorem pemfaktoran unik, kedua-dua a dan b mempunyai pemfaktoran perdana yang unik, iaitu a = 2xk dan b = 2ym bagi integer tak negatif x, y, dan integer ganjil tak negatif m and k.
5. Maka, a2 = 22xk2 dan b2 = 22ym2.
6. Masukkan balik ke dalam (3) akan peroleh 22xk2 = 2·22ym2 = 22y+1m2.
7. Ini menyatakan yang pemfaktoran perdana dengan kuasa genap 2 (2x) adalah sama dengan nombor berkuasa ganjil 2 (2y+1). Ini bercanggah dengan teorem pemfaktoran unik. Maka, pernyataan asal adalah salah.

Bukti geometri

Satu lagi pembuktian melalui percanggahan menunjukkan yang √2 adalah nombor tak nisbah adalah tidak berapa diketahui.[4] Ia juga contoh pembuktian penuurunan tak terhingga. Konsep ini menggunakan pembinaan kompas dan sisi lurus klasik, membuktikan teorem ini dengan kaedah yang sama yang digunakan ahli geometri Yunani purba.

Biarkan ABC segi tiga sama kaki tegak dengan panjang hipotenus m dan kaki n. Dengan menggunakan teorem Pythagoras, m/n = √2. Katakan m dan n adalah integer. Biarkan m:n menjadi nisbah yang diberikan melalui sebutan terendah.

Lukis lengkungan BD dan CE berpusatkan A. Sambungkan DE. Kemudian AB = AD, AC = AE serta ∠BAC dan ∠DAE adalah sama. Maka segitiga ABC dan ADE adalah kongruen melalui SAS.

Memandangkan ∠EBF adalah sudut tegak dan ∠BEF separuh sudut tegak, BEF juga segitiga sama kaki tegak. Maka BE = m − n menandakan BF = m − n. Melalui simetri, DF = m − n, dan FDC juga segitiga sama kaki tegak. Juga FC = n − (m − n) = 2n − m.

Memandangkan kita mempunyai segitiga sama kaki tegak yang lebih kecil, dengan panjang hipotenus 2n − m dan kaki m − n. Nilai ini adalah integer yang lebih kecil daripada m dan n dan dalam nisbah yang sama, bertentangan dengan hipotesis yang menunjukkan bahawa m:n adalah sebutan terkecil. Maka m and n tidak mungkin integer, maka √2 adalah bukan nisbah.